Для цих функцій ряди Тейлора не збігаються, якщо x далеко від b. тобто ряд Тейлора розбігається в точці x, якщо відстань між x і b більша за радіус збіжності.

Отже, ряд Тейлора (рівняння 8.21) збігається абсолютно для кожного значення x, і, отже, збігається для кожного значення x.

Якщо ряд є p-рядом із членами 1np, ми знаємо, що він збігається, якщо p>1, і розходиться в іншому випадку. Якщо ряд є геометричним рядом з членами arn, ми знаємо, що він збігається, якщо |r|<1, і розходиться в іншому випадку.

Тест з чергуванням рядів. Дано змінний ряд, ∑ ( − 1 ) k a k , якщо послідовність додатних членів спадає до 0 як , k → ∞ , то змінний ряд збігається. Зверніть увагу, що якщо межа послідовності не дорівнює 0, то чергуються ряди розходяться.

Похідні f(x) при x=a можуть зростати настільки швидко, що ряд Тейлора може не сходитися. Ряд може сходитися до чогось іншого, ніж f(x).

Ми говоримо, що послідовність {an} збігається (або є збіжним або має межу), якщо воно збігається до деякого числа a. Послідовність розбіжна (або є розбіжною), якщо вона не збігається до жодного числа. n + 1 n = 1. (an − a) = 0 і an → a при n → ∞.