Іншими словами, складні функції це функція, яка має підмножину комплексних чисел як домен і комплексних чисел як кодомен. Зазвичай передбачається, що комплексні функції мають область, що містить непорожню відкриту підмножину комплексної площини. Усі вони є справжніми цінностями.

Функція f комплексної змінної, визначена на S це правило, яке приписує кожному комплексному числу z = x + iy з S деяке комплексне число w = u + iv. Комплексне число w називається значенням f в z і позначається f(z), тобто w = f(z), (2.1) і множина S, де визначена функція f(z), називається домен f.

комплексна змінна, в математиці, змінна, яка може приймати значення комплексного числа . У базовій алгебрі змінні x і y зазвичай представляють значення дійсних чисел. Алгебра комплексних чисел (комплексний аналіз) використовує комплексну змінну z для представлення числа у формі a + bi.

У комплексному аналізі повна функція, яка також називається інтегральною функцією або цілочисельною функцією, є комплекснозначною функцією, голоморфною в усіх кінцевих точках на всій комплексній площині.

Означення 1.1.3 Комплексна змінна називається будь-який символ z, який представляє будь-який елемент множини D ⊆ C. Дано комплексну змінну z = x + iy, дійсні змінні, що відповідають дійсній x та уявній частині y z, представлені Rez та Imz відповідно.

Функції складної змінної або комплексні функції є функції, які відображають комплексні числа в комплексні числа . Нехай C — множина комплексних чисел. Функція f : C → C — це правило, яке пов’язує з z ∈ C унікальний w ∈ C, записаний як w = f(z). Тут z = x + iy.